نقل المتوسط مرشح 3db

أنا بحاجة إلى تصميم مرشح المتوسط ​​المتحرك الذي لديه تردد قطع 7.8 هرتز. لقد استخدمت الفلاتر المتوسطة المتحركة من قبل، ولكن بقدر إم علم، المعلمة الوحيدة التي يمكن أن تتغذى في هو عدد من النقاط التي يتم متوسطها. كيف يمكن أن يتعلق ذلك بتكرار قطع هو معكوس 7.8 هرتز هو 130 مللي ثانية، و إم تعمل مع البيانات التي يتم أخذ عينات في 1000 هرتز. هل يعني هذا أنه يجب أن أستخدم متوسط ​​حجم نافذة مرشح متحرك من 130 عينة أم أن هناك شيء آخر مفقود هنا طلب 18 يوليو 13 في 9:52 مرشح المتوسط ​​المتحرك هو الفلتر المستخدم في المجال الزمني المطلوب إزالته والضجيج المضاف وأيضا لتمهيد الغرض ولكن إذا كنت تستخدم نفس المرشح المتوسط ​​المتحرك في مجال التردد لفصل التردد ثم الأداء سيكون أسوأ. حتى في هذه الحالة استخدام مرشحات نطاق التردد نداش user19373 فب 3 16 في 5:53 المرشح المتوسط ​​المتحرك (المعروف أحيانا بالعامية كمرشح صندوقي) لديه استجابة مستطيلة النبض: أو ذكر بشكل مختلف: تذكر أن استجابة الترددات أنظمة منفصلة يساوي تحويل فورييه المنفصل من وقت الاستجابة، ويمكننا حسابه على النحو التالي: ما كان الأكثر اهتماما في قضيتك هو استجابة حجم مرشح، H (أوميجا). باستخدام اثنين من التلاعب بسيطة، يمكننا الحصول على ذلك في شكل أسهل لفهم: هذا قد لا تبدو أسهل للفهم. ومع ذلك، بسبب هوية يولرز. أذكر ما يلي: لذلك، يمكننا كتابة ما سبق على النحو التالي: كما ذكرت من قبل، ما كنت قلقة حقا حول هو حجم استجابة التردد. لذلك، يمكننا أن نأخذ حجم ما سبق لتبسيط ذلك أبعد من ذلك: ملاحظة: نحن قادرون على إسقاط المصطلحات الأسية بها لأنها لا تؤثر على حجم النتيجة ه 1 لجميع قيم أوميغا. منذ زي زي لأي اثنين من الأعداد المعقدة محدودة x و y، يمكننا أن نخلص إلى أن وجود الأسي لا تؤثر على استجابة حجم الشاملة (بدلا من ذلك، فإنها تؤثر على استجابة مرحلة النظم). الدالة الناتجة داخل الأقواس حجم هو شكل من نواة ديريشليت. ويسمى أحيانا وظيفة المزامنة الدورية، لأنها تشبه وظيفة المخلوق إلى حد ما في المظهر، ولكن هو الدوري بدلا من ذلك. على أي حال، حيث أن تعريف تردد القطع غير محدد إلى حد ما (نقطة دب 3- نقطة دب -6 أول صف جانبي خالي)، يمكنك استخدام المعادلة المذكورة أعلاه لحل كل ما تحتاجه. على وجه التحديد، يمكنك القيام بما يلي: تعيين H (أوميجا) إلى القيمة المقابلة لاستجابة المرشح الذي تريده في تردد قطع. تعيين أوميغا يساوي تردد قطع. لتعيين تردد مستمر الوقت إلى المجال الوقت المنفصل، تذكر أن أوميغا 2pi فراك، حيث فس هو معدل العينة الخاصة بك. العثور على قيمة N التي تمنحك أفضل اتفاق بين الجانبين الأيسر والأيمن من المعادلة. يجب أن يكون طول المتوسط ​​المتحرك. إذا كان N هو طول المتوسط ​​المتحرك، فإن التردد التقريبي F (صالح لل N غ 2) في التردد المعتاد ففس هو: عكس هذا هو هذه الصيغة صحيحة بشكل غير صحيح بالنسبة إلى N كبيرة، ولها حوالي 2 خطأ ل N2، وأقل من 0.5 ل N4. ملاحظة بعد عامين، هنا أخيرا ما كان النهج الذي اتبع. واستندت النتيجة على تقريب الطيف الاتساع ما حول f0 كمقطع مكافئ (سلسلة الترتيب الثاني) وفقا لما (أوميغا) تقريبا 1 (فراك - frac) Omega2 التي يمكن جعلها أكثر دقة بالقرب من الصفر عبور ما (أوميغا) - فراك عن طريق ضرب أوميغا بواسطة معامل الحصول على ما (أوميغا) تقريبا 10.907523 (فراك - frac) Omega2 حل ما (أوميغا) - frac 0 يعطي النتائج أعلاه، حيث 2pi F أوميغا. كل ما سبق يتعلق 3dB قطع تردد، موضوع هذا المنصب. في بعض الأحيان على الرغم من أنه من المثير للاهتمام الحصول على ملف التوهين في نطاق التوقف الذي يمكن مقارنته مع مرشح إر منخفض التصفية المنخفض الأول (ليد القطب الواحد) مع تردد معين 3dB قطع (ويسمى هذا ليف أيضا تكامل تسرب، وجود قطب ليس بالضبط في العاصمة ولكن بالقرب منه). في الواقع على حد سواء ما و 1 النظام إير إر يكون ديك -20dBdecade المنحدر في وقف الفرقة (واحد يحتاج إلى أكبر N من واحد المستخدمة في الشكل، N32، لمعرفة هذا)، ولكن في حين أن ما لديه نول الطيفية في فن و 1F إيفيلوب، مرشح إير لديه ملف تعريف 1f فقط. إذا كان المرء يريد الحصول على مرشح ما مع قدرات مماثلة تصفية الضوضاء مثل هذا المرشح إير، ويطابق قطع 3DB قطع الترددات لتكون هي نفسها، عند مقارنة اثنين من أطياف، وقال انه يدرك أن تموج الفرقة توقف مرشح ما ينتهي 3DB أدناه من مرشح إير. من أجل الحصول على نفس تموج وقف الفرقة (أي نفس التوهين قوة الضوضاء) كما مرشح إير يمكن تعديل الصيغ على النحو التالي: لقد عثرت على السيناريو ماثيماتيكا حيث احسبت قطع لعدة مرشحات، بما في ذلك واحد ما. واستندت النتيجة على تقريب الطيف ما حول f0 كما القطع المكافئ وفقا لما (أوميغا) سين (OmegaN2) سين (Omega2) أوميغا 2PF ما (F) تقريبا N16F2 (N-N3) pi2. واستخلاص المعبر مع 1sqrt من هناك. نداش ماسيمو يناير 17 16 في 2: 08 وأنا استخدام الجواب الثاني في خوارزمية لحساب 3DB قطع تردد مرشح بلدي، الذي يعمل كبيرة، كما بلدي طول مرشح عادة فوق 300. التحقق من ذلك مع استجابة الخطوة. ولكن أود أن يكون مصدر أو اشتقاق لهذه الصيغة. حاولت باليد مع سلسلة تايلور وقف بعد فترة الثانية والثالثة. جئت ولكن ليس بالضبط إلى الصيغة و مابل يعطيني نتيجة معقدة ولكنها معقدة للغاية. آمل يا رفاق يمكن أن تساعد. وكنت دون 39t تحتاج إلى تقريب أي جمع في هذا مع لا يتجزأ. ولكن تحتاج إلى تقريب sin2 () مع عدد محدود من الشروط من سلسلة ماكلورين. ما تحتاجه هو الحل الدقيق لهذا: 2 sin2 (omega0 N2) N2 sin2 (omega02). والجواب لدي هو، أفضل ما أستطيع أن أقول، أقرب تقريب جعل أقل الافتراضات. نادش روبرت بريستو-جونسون جان 13 16 في 5:46 فكر في متوسط ​​متحرك للمرحلة الصفرية طول N: لا يمكن أن تكون المرشحات ذات الطول الطويل التي تعمل على متواليات منفصلة ذات مؤشرات زمنية صحيحة مرحلة صفرية. لقد التحايل على هذا من خلال تمكين مؤشرات وقت الإخراج أن يكون دائما جزء كسري من فراك، في حالة N حتى. وكمثال على العالم الحقيقي، إذا أخذت العينات في كل منتصف الليل، فسيحسب متوسط ​​الحركة الصفرية للطول حتى كل ظهرا. هذه الفهرسة غير عادية يعطي مريح نفس شكل صفر مرحلة من استجابة التردد فن (أوميجا) على حد سواء N أود و N حتى: للأسف استجابة التردد ليس لديها حل رمزي ل -3 ديسيبل تردد قطع أوميغاك، بحيث: بالمعنى الدقيق للكلمة سرت هو حوالي -3.01 ديسيبل، ولكن أعتقد أن هذا ما يعني الناس عندما يقولون -3 ديسيبل، لأنه خلاف ذلك هو مجرد عدد التعسفي. وتستخدم قبة استجابة التردد تقريبية N (أوميجا) جزءا لا يتجزأ من مجموع: الفصوص الرئيسية من الحقيقية (المجموع) والاستجابات التقريبية (المتكاملة) تردد تتلاقى في N كبير: يمكننا إثبات التقارب من خلال إدخال وظائف غن (تشي ) فن (أوميغا) وقبعة N (تشي) قبعة N (أوميجا) مع حجة تطبيع بحيث أوميغا فراك، وبذلك الصفر الأول من كل من وظائف تشي 1: غن (تشي) يعرف باسم N - الدوري الدوري محدودة قطار الاندفاع. حدها ​​في N كبيرة وظيفة قبعة N (تشي) على حد سواء وظيفة النص. لسوء الحظ فإن تردد قطع -3 ديسيبل ليس لديه حل رمزي في قبعة تقريب N (أوميغا) إما. أما بالنسبة إلى N مختلفة، فإن التقريب يختلف فقط عن تقريب N 1 بواسطة مخطط أوميغا ريتارو أوميجا N، لذلك يكفي حل التردد التقريبي -3 ديسيبل هاتوميغاك (N) عدديا ل N 1: إعطاء التردد التقريبي للقطع N التعسفي : هذا يبدو أن آخر، أبسط تقريب من ماسيموس. بالنسبة إلى N غ 300، يجب ألا تكون هناك مشكلة في استخدامه. ماسيموس وهذه الثوابت الأجوبة هي ذات الصلة من قبل: لقد نظرت أبعد قليلا، ووجد أن ماسيمو تقارب فن (أوميجا) مع قبعة M (أوميجا)، واختيار M مثل أن (حدود) المشتقات الثانية من استجابة التردد ومطابقة التقريب في أوميغا 0: هذا يحسن التقريب في أوميغا الصغيرة التي تشمل نقطة قطع -3dB، وخاصة في N الصغيرة: ماسيموس تقريب دائما المبالغة في تقدير قطع (انظر المقارنة الخطأ)، وترك مجالا لتحسينه عن طريق تغيير ثابت 1. ذي الخطأ هو أكبر ل N 2. إذا كان خطأها مساويا لخطأ (ثاني أكبر حاليا) في N 3، نحصل على أفضل ولكن مجرد تقريب رخيصة: هذا وغيرها من القرص الثابت، مثل ثابت ثابت 0.863031932778066. العمل بشكل مدهش بشكل جيد ل N كبيرة (انظر المقارنة الخطأ). أما بالنسبة إلى N الكبير، فإن الخطأ يسقط بعامل قدره 1000 لكل زيادة في N بعامل قدره 10. وتفسير هذه الأمور هو أن تردد القطع الحقيقي كدالة من N يحتوي على سلسلة لورينت: والتقارب وسلسلة لوران هي: a1 a 2.78311475650302030063992 a3 أبروكس - frac إذا كانت المطابقة التقريبية في N - term بالضبط، يجب أن ينخفض ​​الخطأ التقريبي بعامل 105 لزيادة N كبيرة بعامل 10. المعاملات أك من سلسلة لوران f (x) سوم فراك لوظيفة f (x) كما يمكن العثور على درايستاروينفتي تكرارا من قبل: عندما لم يكن لدينا و (x) في شكل رمزي، ولكن يمكن حلها عدديا إلى أي دقة كبيرة جدا x ، يمكننا أن نفعل ما يعادل الإجراء أعلاه عدديا. سوف النصي بيثون التالية التي تستخدم سيمبي و مباث حساب عدد معين (هنا 10) من المعاملات الأولى أك في الدقة المطلوبة لسلسلة لوران من تردد قطع الحقيقي: على جهاز الكمبيوتر الخاص بي يعمل البرنامج لمدة 7 دقائق. ويوضح ذلك ما يلي، مما يدل على أن سلسلة لورينت تتكون فقط من القوى السلبية الغريبة: هذه الأرقام، كما هو موضح إلى 24 منزلة عشرية، ليست من التقريب بمعنى أن سلسلة لورانت فريدة من نوعها لا يوجد أي سلسلة لوران أخرى تساوي أوميغاك ( N). باستخدام فقط a1 و a3، بسيطة يمكن أن تكون مبنية على المدى القصير لوران مجموعة تقريب سلسلة: و c-فراك التقريب: على حد سواء 1N5 انحلال الخطأ في N كبيرة، انظر مقارنة الخطأ. العمودان ح) و ط) على التوالي. سلسلة لوران اقتطاع أطول مع مزيد من المصطلحات من إخراج البرامج النصية يتحلل حتى أسرع، 1N لمدة تقريب على المدى 5 في العمود j) في المقارنة الخطأ. السهم من لي، أولي. ولكن لسبب ما، وأعتقد أن الجواب هو أبسط من ذلك بكثير. عادة أحب تصميم أكوسال متماثل مرشحات الأشعة تحت الحمراء، لأنها مرحلة الصفر، ولكن عادة أقصر نفسي إلى عدد فردي من الصنابير غير الصفر. للقيام بذلك بشكل أعم، أنا قد تلتزم المتوسط ​​المتحرك لمعلومات الطيران السببية. ليت يقول عدد الصنابير هو N. تطبيق ماثكال - transform (و صيغة الجمع الهندسي): استبدال z ليفتارو ه للحصول على دتفت: عادة نسمي الشيء الذي يضاعف X (ض) وظيفة نقل والشيء الذي يضرب X (ه)، فإن استجابة التردد تعني عاملا e خطيا، وتأخرا ثابتا في عينات فراك. فإنه لا يغير المكسب. عامل فراك هو عامل الكسب. تردد دب 3-، أوميغاك، (عادة ما نعني التردد دب 3-0103 لأن ذلك يتوافق مع تردد القدرة نصف) بحيث أن 2 sin2 (أوميغاك N2) N2 sin2 (omegac2). وذلك بالنظر إلى عدد من الصنابير N، لديك لحل ل أوميغاك. التي قد لا يكون من السهل جدا القيام به لشكل مغلق، ولكن يمكنك حفر الآلة الحاسبة والمكونات و تشوج حتى تحصل على الجواب الذي لديه دقة كافية. أو يمكنك الحصول على ماتلاب للقيام بذلك. يمكن أن يكون تقريب لائق لأوميغاك ل N كبيرة باستخدام هوية تريغ (واحد أنا عادة ما تستخدم عندما إيم تافه مع تحويل ثنائي الصفراء) والفترات الثلاثة الأولى لسلسلة ماكلورين ل كوس (). إذا قمت بتوصيل في هذا التقريب ل sin2 () في المعادلة السابقة وحلها. (تخطي خطوات لوتا لأنني كسول جدا إلى اللثي بها). أولي، كيف جيدا أن مقارنة ذلك النتائج الخاصة بك القيام بهذا واحد أفضل مع مصطلح آخر لتقريب sin2 ()، هو قابل للتنفيذ، يتطلب فقط حل من الدرجة الثانية ل omega02. التقريب لاستخدام (الحفاظ على المصطلحات الأربعة الأولى من توسع كوس () هو: حاول أن تقريب وحل ل أوميغاك 2. الإجابة الأكثر اتساقا أحصل عليه هو مع الخيار يبدو وكأنه مع - الخيار يبدو وكأنه أقرب بكثير من التقريب من الدرجة الأولى فعلت أعلاه. لذلك أعتقد أنني سوف تأخذ - الخيار. لذلك، على الرغم من أنني لا أستطيع أن أقول تحليليا لماذا يجب رفض الخيار، أعتقد أن جوابي الأكثر دقة سيكون الذي لديه الحد، ل N كبيرة، هو مبين أعلاه. أي شخص آخر لديه طريقة أفضل للنظر في حل تقريبي جيد شكل تقريبي لهذا تويك الماضي على هذا قبل التقاعد. تقريب sin2 (ثيتا) تقريبا theta2 اليسار (1 - فراك theta2 فراك theta4 الحق) حقا يجب أن تكون جيدة للجميع 0 لو ثيتا لي فراك وذلك لجعل ذلك يحدث وجعل السلوك لا تزال جيدة في ثيتا ل 1، ونحن يجب الهراء آخر معامل، فراك، ليكون فراك بحيث التقريب هو جيد ل sin2left (فراك اليمين). لا يزيد من تعقيد، ولكن قد يجعل لإجابة أفضل. نادش روبرت بريستو-جونسون جان 13 16 في 6:27 فراك)) هو في الواقع قطار دفعة محدودة الفرقة تقريب ذلك مع وظيفة النص كما هو الحال في جوابي بالضبط (في حدود 2.78311475650302030063992) في حدود N كبيرة حيث لديك omega0 فراك يعطي حوالي 0.88 مرات قطع الحقيقي والحق الخاص بك omega0 سرت) يعطي حوالي 1.035 مرات القطع الحقيقي. أعتقد إذا كنت ترغب في جعل تقريب أفضل يجب أن تشمل هذا ثابت مطولة. نادش أولي نيميتالو جان 13 16 في 8:46 روبرت، تحتاج إلى استخدام 39-39 علامة في صيغة المعادلة التربيعية، لأن ذلك يعطي الحل حيث سلسلة تايلور لا يزال نوع من تقريب وظيفة الأصلي. الحل الآخر هو صالح فقط لتايلور متعدد الحدود ولكن ليس على الإطلاق للوظيفة الأصلية لأن لتلك القيمة أكبر، تايلور متعدد الحدود لا حتى قريبة من وظيفة الأصلي بعد الآن. لذلك لتوسيع تايلور حول x00، لديك عادة لاختيار أصغر حل (في حجم)، لأن that39s واحد حيث التقريب يعمل بشكل أفضل. نداش مات L. جان 13 16 في 14:23 يتيح مقارنة الأخطاء العددية الفعلية لتقريبات مختلفة من تردد قطع. ويحسب الخطأ الوارد في الجدول بطرح صحيح (حل رقميا) -3 ديسيبل تردد قطع أوميغاك من التقريب. ملاحظات: تقريب ه) لا يسمح N2. يتم سرد بعض الأخطاء على أنها 0، ولكن هذا يعني فقط أن حجمها أقل من 1E-17. هذا وغيرها من عدم الدقة المحتملة هي من استخدام مزدوجة الدقة الحساب العائمة نقطة في حساب التقريب والخطأ. لا تتردد في إديتاد تقريب آخر. حسنا، هذا متعة. إم لإضافة أفكاري وتقريبات، الأولى التي تبين أن تكون مطابقة لتلك التي قدمها ماسيمو في هذه الإجابة. و واحد المستمدة من قبل أولي في هذا الموضوع. ما زلت أضمها هنا لأن اشتقاقها مختلف. ثم تظهر إل تقريب أفضل، والذي لديه خطأ نسبي الحد الأقصى من 0.002 ل N2 (في هذه الحالة لدينا بالطبع حل تحليلي لقطع تردد بالضبط: omegacpi2)، والتي الخطأ النسبي أصغر من 1.2cdot 10 ل نج 10. ومن المعروف جيدا، وأظهرت من قبل أولي وروبرت في إجاباتهم، أن وظيفة الاتساع الحقيقي قيمة من طول N مرشح المتوسط ​​المتحرك يعطى من قبل 3 ديسيبل قطع تردد أوميغاك يرضي بقدر ما وأنا أعلم أنه لا يوجد حل تحليلي بسيط معقول ل إق. (2). مفتاح التقريب المعروض هنا هو - ليس من المستغرب - تقريب تايلور. الفرق بين سلسلة تايلور المستخدمة في الجواب روبرتس هو أنني لا تقترب بشكل منفصل وظائف جيبية (أو القيم المربعة كما في الإجابات روبرتس)، ولكن أنا تقريبي مباشرة وظيفة السعة الكاملة الواردة في (1). تقريب الخطيئة (Nomega2) (أو قيمتها التربيعية) سيؤدي إلى أخطاء أكبر من عندما تقترب الدالة الكاملة، لأن الحجة Nomega2 لا تقترب أبدا من الصفر، حتى بالنسبة للقيم الكبيرة من N. تقترب فقط من الخطيئة القاسم (omega2) تربيع قيمة) على ما يرام، لأن حجته أوميجاوميغاك لا نهج الصفر ل N. كبير على أي حال، وسوف تستخدم أي من اثنين من التقريبات، ولكنني سوف تستخدم سلسلة تايلور من هن (أوميجا). لتدوين أبسط استخدام سوء xomega2 و فن (x) هن (أوميجا). وتعطى السلسلة تايلور من فن (x) حول x00 من قبل لقيم كبيرة من N، وهذا التقريب شرعي لأن أوميغاك تردد قطع يميل إلى القيم الصغيرة. في أول تقريب أنا فقط استخدام أول مصطلحين في (3): حل (4) يعطي الحل التقريبي الأول: المشكلة مع هذا الحل هو أنه منحازة، وهو ما يعني أن الخطأ لا تتلاقى إلى الصفر ل N كبيرة. ومع ذلك، اتضح أنه من خلال توسيع بسيط من (5)، وهذا منحازة يمكن إزالتها. من أجل الصفر التحيز نطلب حيث استخدمت تدوين أوميغا (N) للتأكيد على اعتمادها على N. حل (6) مع التعبير العام يقودنا إلى المعادلة التي يجب حلها عدديا للحل قبل الآن الشهيرة تقريب ( 7) مع تعطى من قبل (9) هو مماثل لصيغة ماسيموس (لديك لتقسيم بنسبة 2pi للحصول على ثابت السحر له)، وأيضا نفس واحد المستمدة من قبل أولي بطريقة مختلفة في هذا الموضوع. ونحن نرى أن تقريب تايلور أعطانا الشكل الصحيح للمعادلة، ولكن الثابت يجب أن تحدد من خلال عملية الحد من أجل الحصول على صيغة مع التحيز صفر. وبالنسبة لمعظم الأغراض العملية، تكون هذه الصيغة دقيقة بما فيه الكفاية مع خطأ نسبي قصوى قدره 6.9cdot 10 ل نج 10. وباستخدام جميع المصطلحات في التقريب (3) سيعطينا تقديرا أفضل. العملية هي بالضبط نفس كما كان من قبل: وضعنا تقريب تايلور من فن (x) يساوي 1sqrt وحل ل شك (هناك فقط حتى قوى x، لذلك نحن بحاجة فقط إلى حل معادلة من الدرجة الثانية). هذا يعطينا الصيغة التالية: لاحظ أن من الحلول الأربعة للمعادلة الرباعية، ونحن بحاجة إلى اختيار أصغر من اثنين إيجابية، لأن هذه هي القيمة حيث سلسلة تايلور تقارب بشكل وثيق فن (x). الحل الإيجابي الآخر هو قطعة أثرية في نطاق حيث سلسلة تايلور يتباعد من فن (x). التقريب (10) لديه نفس المشكلة الصغيرة مثل النسخة الأولى من التقريب السابق التي قدمها (5) في أن لديها انحياز صغير. ويمكن إزالة هذا التحيز في نفس الطريقة تماما كما كان من قبل من خلال النظر في الحد (6)، وهذه المرة مع أوميغا (N). ويعطى تقريبي النهائي على أساس (10) ولكن مع التحيز صفر حيث يمكن أيضا الحصول على ب من خلال حل معادلة مماثلة ل (8). يمكن أن تكون مكتوبة في الواقع من حيث تعطى من قبل (9): بفراك سرت -1) 0.997314251642175tag أنا حساب القيم الدقيقة أوميغاك عدديا ل N في مجموعة 2،100، حتى أتمكن من حساب الخطأ النسبي الذي يسمح للمقارنة بين مختلف تقريب أوميغا. لا تناقش سوى التقريبات مع التحيز صفر: أوميغا تعطى من قبل (7) مع إعطاء من قبل (9)، وأوميغا التي قدمها (11) (و (10))، مع ب تعطى من قبل (12). ويبين الشكل الوارد أدناه الأخطاء النسبية على النحو المحدد في (13) كدالة لل N. والمنحنى الأحمر هو الخطأ النسبي للتقارب (7)، والمنحنى الأخضر هو خطأ التقريب (11). كل من التقريب يكون التحيز صفر (أنها تتلاقى مع القيم الدقيقة ل N كبيرة)، ولكن المنحنى الأخضر يتقارب أسرع بكثير. وصيغ التحيز الصفر المبينة أعلاه تقريبية لائقة لترددات القطع الفعلية، ولكن الأفضل (الصيغ (10،11،12)) محرج للغاية. كان أولي فكرة عظيمة لقرص ثابت المقام في صيغة بسيطة (7). طالما أننا نستخدم القيمة المثلى ل a معين من قبل (9)، يمكننا تغيير ثابت القاسم دون فقدان الملكية الصفر التحيز. لذلك نحصل على صيغة جديدة مع ثابت ج ليكون الأمثل. إذا فهمت بشكل صحيح، استنادا أولي له الأمثل c على قيمة الخطأ ل N2. ومع ذلك، أعتقد أن قيمة N2 ليست ذات صلة جدا لأنه ل N2، أوميغاك يمكن حسابها تحليليا: أوميغاك (2) pi2. لذلك نحن لسنا بحاجة بالضرورة إلى تحسين الصيغة (14) للقضية N2 إذا كان يأتي على حساب تقريب في قيم أكبر من N. أنا الأمثل ثابت ج في (14) على النحو التالي. وإذا كانت أوميغاك (N) هي ترددات قطع محددة لمجموعة معينة من أطوال المرشح N، لدينا نظام معاد تحديده بشكل مفرط للمعادلات: حيث يمكننا أن نختار أي مجموعة معقولة من القيم ل N. إعادة الترتيب (15) يعطي مجموعة أخرى من المعادلات ، وهذه المرة الخطية في غير معروف ج: الحل الأمثل المربعات الصغرى من (16) هو حيث L هو عدد من القيم المختلفة ل N المستخدمة في المجموع. إذا كنت تستخدم جميع القيم الصحيحة من N في النطاق 2،100 تحصل على الذي هو قريب من قيمة أوليس، ولكن الذي يعطي تقريبي أفضل لجميع نج 3. أضفت قيم الخطأ إلى هذا الجدول. العمود f). في إجابته، كان روبرت يتساءل لماذا يجب أن يتجاهل الحل الثاني (الأكبر) الإيجابي لأوميغاك عند استخدام الترتيب الرابع من سلسلة تايلور ل sin2 (x). ويبين الشكل أدناه السبب. يتم عرض وظيفة السعة التربيعية الأصلية باللون الأزرق (لل N10). خط 3DB باللون الأحمر. الدالة الخضراء هي تقريب تايلور، الذي يعبر الخط الأحمر مرتين. هذه هي الحلين الايجابيين لأوميغاك. منذ وظيفة حتى، ونحن أيضا الحصول على نفس الحلول اثنين مع علامات سلبية، الأمر الذي يجعل من أربعة، كما ينبغي أن يكون الحال بالنسبة لترتيب متعدد الحدود الرابع. ومع ذلك، فمن الواضح أن أكبر من اثنين من الحلول الإيجابية هي قطعة أثرية بسبب الاختلاف في تقريب تايلور للحجج أكبر. لذلك هو الحل الوحيد الذي يجعل من المنطقي، والآخر لا يفعل ذلك. وأقدم إجابة أخرى لأن هذا النهج مختلف تماما بمعنى أنني لا أحاول تقريب وظيفة السعة المرشحة لحساب تقريب تردد قطع، ولكن يمكنني استخدام نهج تركيب البيانات نقية بالنظر إلى الترددات قطع بالضبط ، والتي تم حسابها عدديا (والتي تعطى أيضا لمجموعة من أطوال المرشح في العمود الأيسر من هذا الجدول). مع تركيب البيانات، في كثير من الأحيان المشكلة الأكثر صعوبة هو العثور على المعلمة المناسبة من وظيفة تقريب. منذ من الإجابات الأخرى في هذا الموضوع نعلم أنه مع الثوابت المختارة بشكل مناسب a و c هو تقريب جيد بشكل مدهش لمجموعة واسعة من القيم من N، ومنذ ولفرام ألفا يخبرنا أن توسيع سلسلة لورينت من (1) في نينفتي ديه فقط مع القوى الغريبة من 1N، يبدو من المعقول أن باراميتيريز تردد قطع من قبل سلسلة لوران مع القوى الغريبة من 1N: يمكننا حساب القيمة الدقيقة لل a1 في (2) من شرط أن تقدير قبعة ج (N ) له انحياز صفري، أي أنه يتقارب مع تردد قطع حقيقي ل N. كبير وهذا موضح في جوابي الآخر. قيمته هي الثوابت الأخرى في (2) يمكن حسابها من خلال تناسب المربعات الصغرى من (2) إلى البيانات، والتي هي بالضبط قطع الترددات. يمكن حساب المربعات الصغرى تناسب بواسطة البرنامج النصي ماتلابوكتاف بسيط بسيط (على افتراض المتغير مرحاض هو متجه مع ترددات محسوبة مسبقا قطع بالضبط لمجموعة المطلوب من أطوال مرشح): يتم بدء المعاملات الناتجة a3amp1.201014809636180 a5amp0.768735238011194 a7amp0.514237034990353 a9amp0.548681885931852end مع a1 تعطى بواسطة (3). هذا التقريب يأتي قريبة جدا من القيم الدقيقة للأوميغاك. يمكن العثور على خطأ التقريب في هذا الجدول (العمود ز).وأستخدم الجواب الثاني في خوارزمي لحساب تردد قطع 3DB من مرشح بلدي، الذي يعمل كبيرة، وطول مرشح بلدي عادة فوق 300. التحقق من ذلك مع استجابة الخطوة. ولكن أود أن يكون مصدر أو اشتقاق لهذه الصيغة. حاولت باليد مع سلسلة تايلور وقف بعد فترة الثانية والثالثة. جئت ولكن ليس بالضبط إلى الصيغة و مابل يعطيني نتيجة معقدة ولكنها معقدة للغاية. آمل يا رفاق يمكن أن تساعد. وكنت دون 39t تحتاج إلى تقريب أي جمع في هذا مع لا يتجزأ. ولكن تحتاج إلى تقريب sin2 () مع عدد محدود من الشروط من سلسلة ماكلورين. ما تحتاجه هو الحل الدقيق لهذا: 2 sin2 (omega0 N2) N2 sin2 (omega02). والجواب لدي هو، أفضل ما أستطيع أن أقول، أقرب تقريب جعل أقل الافتراضات. نادش روبرت بريستو-جونسون جان 13 16 في 5:46 فكر في متوسط ​​متحرك للمرحلة الصفرية طول N: لا يمكن أن تكون المرشحات ذات الطول الطويل التي تعمل على متواليات منفصلة ذات مؤشرات زمنية صحيحة مرحلة صفرية. لقد التحايل على هذا من خلال تمكين مؤشرات وقت الإخراج أن يكون دائما جزء كسري من فراك، في حالة N حتى. وكمثال على العالم الحقيقي، إذا أخذت العينات في كل منتصف الليل، فسيحسب متوسط ​​الحركة الصفرية للطول حتى كل ظهرا. هذه الفهرسة غير عادية يعطي مريح نفس شكل صفر مرحلة من استجابة التردد فن (أوميجا) على حد سواء N أود و N حتى: للأسف استجابة التردد ليس لديها حل رمزي ل -3 ديسيبل تردد قطع أوميغاك، بحيث: بالمعنى الدقيق للكلمة سرت هو حوالي -3.01 ديسيبل، ولكن أعتقد أن هذا ما يعني الناس عندما يقولون -3 ديسيبل، لأنه خلاف ذلك هو مجرد عدد التعسفي. وتستخدم قبة استجابة التردد تقريبية N (أوميجا) جزءا لا يتجزأ من مجموع: الفصوص الرئيسية من الحقيقية (المجموع) والاستجابات التقريبية (المتكاملة) تردد تتلاقى في N كبير: يمكننا إثبات التقارب من خلال إدخال وظائف غن (تشي ) فن (أوميغا) وقبعة N (تشي) قبعة N (أوميجا) مع حجة تطبيع بحيث أوميغا فراك، وبذلك الصفر الأول من كل من وظائف تشي 1: غن (تشي) يعرف باسم N - الدوري الدوري محدودة قطار الاندفاع. حدها ​​في N كبيرة وظيفة قبعة N (تشي) على حد سواء وظيفة النص. لسوء الحظ فإن تردد قطع -3 ديسيبل ليس لديه حل رمزي في قبعة تقريب N (أوميغا) إما. أما بالنسبة إلى N مختلفة، فإن التقريب يختلف فقط عن تقريب N 1 بواسطة مخطط أوميغا ريتارو أوميجا N، لذلك يكفي حل التردد التقريبي -3 ديسيبل هاتوميغاك (N) عدديا ل N 1: إعطاء التردد التقريبي للقطع N التعسفي : هذا يبدو أن آخر، أبسط تقريب من ماسيموس. بالنسبة إلى N غ 300، يجب ألا تكون هناك مشكلة في استخدامه. ماسيموس وهذه الثوابت الأجوبة هي ذات الصلة من قبل: لقد نظرت أبعد قليلا، ووجد أن ماسيمو تقارب فن (أوميجا) مع قبعة M (أوميجا)، واختيار M مثل أن (حدود) المشتقات الثانية من استجابة التردد ومطابقة التقريب في أوميغا 0: هذا يحسن التقريب في أوميغا الصغيرة التي تشمل نقطة قطع -3dB، وخاصة في N الصغيرة: ماسيموس تقريب دائما المبالغة في تقدير قطع (انظر المقارنة الخطأ)، وترك مجالا لتحسينه عن طريق تغيير ثابت 1. ذي الخطأ هو أكبر ل N 2. إذا كان خطأها مساويا لخطأ (ثاني أكبر حاليا) في N 3، نحصل على أفضل ولكن مجرد تقريب رخيصة: هذا وغيرها من القرص الثابت، مثل ثابت ثابت 0.863031932778066. العمل بشكل مدهش بشكل جيد ل N كبيرة (انظر المقارنة الخطأ). أما بالنسبة إلى N الكبير، فإن الخطأ يسقط بعامل قدره 1000 لكل زيادة في N بعامل قدره 10. وتفسير هذه الأمور هو أن تردد القطع الحقيقي كدالة من N يحتوي على سلسلة لورينت: والتقارب وسلسلة لوران هي: a1 a 2.78311475650302030063992 a3 أبروكس - frac إذا كانت المطابقة التقريبية في N - term بالضبط، يجب أن ينخفض ​​الخطأ التقريبي بعامل 105 لزيادة N كبيرة بعامل 10. المعاملات أك من سلسلة لوران f (x) سوم فراك لوظيفة f (x) كما يمكن العثور على درايستاروينفتي تكرارا من قبل: عندما لم يكن لدينا و (x) في شكل رمزي، ولكن يمكن حلها عدديا إلى أي دقة كبيرة جدا x ، يمكننا أن نفعل ما يعادل الإجراء أعلاه عدديا. سوف النصي بيثون التالية التي تستخدم سيمبي و مباث حساب عدد معين (هنا 10) من المعاملات الأولى أك في الدقة المطلوبة لسلسلة لوران من تردد قطع الحقيقي: على جهاز الكمبيوتر الخاص بي يعمل البرنامج لمدة 7 دقائق. ويوضح ذلك ما يلي، مما يدل على أن سلسلة لورينت تتكون فقط من القوى السلبية الغريبة: هذه الأرقام، كما هو موضح إلى 24 منزلة عشرية، ليست من التقريب بمعنى أن سلسلة لورانت فريدة من نوعها لا يوجد أي سلسلة لوران أخرى تساوي أوميغاك ( N). باستخدام فقط a1 و a3، بسيطة يمكن أن تكون مبنية على المدى القصير لوران مجموعة تقريب سلسلة: و c-فراك التقريب: على حد سواء 1N5 انحلال الخطأ في N كبيرة، انظر مقارنة الخطأ. العمودان ح) و ط) على التوالي. سلسلة لوران اقتطاع أطول مع مزيد من المصطلحات من إخراج البرامج النصية يتحلل حتى أسرع، 1N لمدة تقريب على المدى 5 في العمود j) في المقارنة الخطأ. السهم من لي، أولي. ولكن لسبب ما، وأعتقد أن الجواب هو أبسط من ذلك بكثير. عادة أحب تصميم أكوسال متماثل مرشحات الأشعة تحت الحمراء، لأنها مرحلة الصفر، ولكن عادة أقصر نفسي إلى عدد فردي من الصنابير غير الصفر. للقيام بذلك بشكل أعم، أنا قد تلتزم المتوسط ​​المتحرك لمعلومات الطيران السببية. ليت يقول عدد الصنابير هو N. تطبيق ماثكال - transform (و صيغة الجمع الهندسي): استبدال z ليفتارو ه للحصول على دتفت: عادة نسمي الشيء الذي يضاعف X (ض) وظيفة نقل والشيء الذي يضرب X (ه)، فإن استجابة التردد تعني عاملا e خطيا، وتأخرا ثابتا في عينات فراك. فإنه لا يغير المكسب. عامل فراك هو عامل الكسب. تردد دب 3-، أوميغاك، (عادة ما نعني التردد دب 3-0103 لأن ذلك يتوافق مع تردد القدرة نصف) بحيث أن 2 sin2 (أوميغاك N2) N2 sin2 (omegac2). وذلك بالنظر إلى عدد من الصنابير N، لديك لحل ل أوميغاك. التي قد لا يكون من السهل جدا القيام به لشكل مغلق، ولكن يمكنك حفر الآلة الحاسبة والمكونات و تشوج حتى تحصل على الجواب الذي لديه دقة كافية. أو يمكنك الحصول على ماتلاب للقيام بذلك. يمكن أن يكون تقريب لائق لأوميغاك ل N كبيرة باستخدام هوية تريغ (واحد أنا عادة ما تستخدم عندما إيم تافه مع تحويل ثنائي الصفراء) والفترات الثلاثة الأولى لسلسلة ماكلورين ل كوس (). إذا قمت بتوصيل في هذا التقريب ل sin2 () في المعادلة السابقة وحلها. (تخطي خطوات لوتا لأنني كسول جدا إلى اللثي بها). أولي، كيف جيدا أن مقارنة ذلك النتائج الخاصة بك القيام بهذا واحد أفضل مع مصطلح آخر لتقريب sin2 ()، هو قابل للتنفيذ، يتطلب فقط حل من الدرجة الثانية ل omega02. التقريب لاستخدام (الحفاظ على المصطلحات الأربعة الأولى من توسع كوس () هو: حاول أن تقريب وحل ل أوميغاك 2. الإجابة الأكثر اتساقا أحصل عليه هو مع الخيار يبدو وكأنه مع - الخيار يبدو وكأنه أقرب بكثير من التقريب من الدرجة الأولى فعلت أعلاه. لذلك أعتقد أنني سوف تأخذ - الخيار. لذلك، على الرغم من أنني لا أستطيع أن أقول تحليليا لماذا يجب رفض الخيار، أعتقد أن جوابي الأكثر دقة سيكون الذي لديه الحد، ل N كبيرة، هو مبين أعلاه. أي شخص آخر لديه طريقة أفضل للنظر في حل تقريبي جيد شكل تقريبي لهذا تويك الماضي على هذا قبل التقاعد. تقريب sin2 (ثيتا) تقريبا theta2 اليسار (1 - فراك theta2 فراك theta4 الحق) حقا يجب أن تكون جيدة للجميع 0 لو ثيتا لي فراك وذلك لجعل ذلك يحدث وجعل السلوك لا تزال جيدة في ثيتا ل 1، ونحن يجب الهراء آخر معامل، فراك، ليكون فراك بحيث التقريب هو جيد ل sin2left (فراك اليمين). لا يزيد من تعقيد، ولكن قد يجعل لإجابة أفضل. نادش روبرت بريستو-جونسون جان 13 16 في 6:27 فراك)) هو في الواقع قطار دفعة محدودة الفرقة تقريب ذلك مع وظيفة النص كما هو الحال في جوابي بالضبط (في حدود 2.78311475650302030063992) في حدود N كبيرة حيث لديك omega0 فراك يعطي حوالي 0.88 مرات قطع الحقيقي والحق الخاص بك omega0 سرت) يعطي حوالي 1.035 مرات القطع الحقيقي. أعتقد إذا كنت ترغب في جعل تقريب أفضل يجب أن تشمل هذا ثابت مطولة. نادش أولي نيميتالو جان 13 16 في 8:46 روبرت، تحتاج إلى استخدام 39-39 علامة في صيغة المعادلة التربيعية، لأن ذلك يعطي الحل حيث سلسلة تايلور لا يزال نوع من تقريب وظيفة الأصلي. الحل الآخر هو صالح فقط لتايلور متعدد الحدود ولكن ليس على الإطلاق للوظيفة الأصلية لأن لتلك القيمة أكبر، تايلور متعدد الحدود لا حتى قريبة من وظيفة الأصلي بعد الآن. لذلك لتوسيع تايلور حول x00، لديك عادة لاختيار أصغر حل (في حجم)، لأن that39s واحد حيث التقريب يعمل بشكل أفضل. نداش مات L. جان 13 16 في 14:23 يتيح مقارنة الأخطاء العددية الفعلية لتقريبات مختلفة من تردد قطع. ويحسب الخطأ الوارد في الجدول بطرح صحيح (حل رقميا) -3 ديسيبل تردد قطع أوميغاك من التقريب. ملاحظات: تقريب ه) لا يسمح N2. يتم سرد بعض الأخطاء على أنها 0، ولكن هذا يعني فقط أن حجمها أقل من 1E-17. هذا وغيرها من عدم الدقة المحتملة هي من استخدام مزدوجة الدقة الحساب العائمة نقطة في حساب التقريب والخطأ. لا تتردد في إديتاد تقريب آخر. حسنا، هذا متعة. إم لإضافة أفكاري وتقريبات، الأولى التي تبين أن تكون مطابقة لتلك التي قدمها ماسيمو في هذه الإجابة. و واحد المستمدة من قبل أولي في هذا الموضوع. ما زلت أضمها هنا لأن اشتقاقها مختلف. ثم تظهر إل تقريب أفضل، والذي لديه خطأ نسبي الحد الأقصى من 0.002 ل N2 (في هذه الحالة لدينا بالطبع حل تحليلي لقطع تردد بالضبط: omegacpi2)، والتي الخطأ النسبي أصغر من 1.2cdot 10 ل نج 10. ومن المعروف جيدا، وأظهرت من قبل أولي وروبرت في إجاباتهم، أن وظيفة الاتساع الحقيقي قيمة من طول N مرشح المتوسط ​​المتحرك يعطى من قبل 3 ديسيبل قطع تردد أوميغاك يرضي بقدر ما وأنا أعلم أنه لا يوجد حل تحليلي بسيط معقول ل إق. (2). مفتاح التقريب المعروض هنا هو - ليس من المستغرب - تقريب تايلور. الفرق بين سلسلة تايلور المستخدمة في الجواب روبرتس هو أنني لا تقترب بشكل منفصل وظائف جيبية (أو القيم المربعة كما في الإجابات روبرتس)، ولكن أنا تقريبي مباشرة وظيفة السعة الكاملة الواردة في (1). تقريب الخطيئة (Nomega2) (أو قيمتها التربيعية) سيؤدي إلى أخطاء أكبر من عندما تقترب الدالة الكاملة، لأن الحجة Nomega2 لا تقترب أبدا من الصفر، حتى بالنسبة للقيم الكبيرة من N. تقترب فقط من الخطيئة القاسم (omega2) تربيع قيمة) على ما يرام، لأن حجته أوميجاوميغاك لا نهج الصفر ل N. كبير على أي حال، وسوف تستخدم أي من اثنين من التقريبات، ولكنني سوف تستخدم سلسلة تايلور من هن (أوميجا). لتدوين أبسط استخدام سوء xomega2 و فن (x) هن (أوميجا). وتعطى السلسلة تايلور من فن (x) حول x00 من قبل لقيم كبيرة من N، وهذا التقريب شرعي لأن أوميغاك تردد قطع يميل إلى القيم الصغيرة. في أول تقريب أنا فقط استخدام أول مصطلحين في (3): حل (4) يعطي الحل التقريبي الأول: المشكلة مع هذا الحل هو أنه منحازة، وهو ما يعني أن الخطأ لا تتلاقى إلى الصفر ل N كبيرة. ومع ذلك، اتضح أنه من خلال توسيع بسيط من (5)، وهذا منحازة يمكن إزالتها. من أجل الصفر التحيز نطلب حيث استخدمت تدوين أوميغا (N) للتأكيد على اعتمادها على N. حل (6) مع التعبير العام يقودنا إلى المعادلة التي يجب حلها عدديا للحل قبل الآن الشهيرة تقريب ( 7) مع تعطى من قبل (9) هو مماثل لصيغة ماسيموس (لديك لتقسيم بنسبة 2pi للحصول على ثابت السحر له)، وأيضا نفس واحد المستمدة من قبل أولي بطريقة مختلفة في هذا الموضوع. ونحن نرى أن تقريب تايلور أعطانا الشكل الصحيح للمعادلة، ولكن الثابت يجب أن تحدد من خلال عملية الحد من أجل الحصول على صيغة مع التحيز صفر. وبالنسبة لمعظم الأغراض العملية، تكون هذه الصيغة دقيقة بما فيه الكفاية مع خطأ نسبي قصوى قدره 6.9cdot 10 ل نج 10. وباستخدام جميع المصطلحات في التقريب (3) سيعطينا تقديرا أفضل. The process is exactly the same as before: we set the Taylor approximation of FN(x) equal to 1sqrt and solve for xc (there are only even powers of x, so we only need to solve a quadratic equation). This gives us the following formula: Note that of the four solutions of the quartic equation, we need to choose the smaller of the two positive ones, because thats the value where the Taylor series closely approximates FN(x). The other positive solution is an artefact in a range where the Taylor series diverges from FN(x). The approximation (10) has the same small problem as the first version of the previous approximation given by (5) in that it has a small bias. This bias can be removed in exactly the same way as before by considering the limit (6), this time with omega (N). My final approximation based on (10) but with zero bias is given by where b can also be obtained by solving an equation similar to (8). It can actually be written in terms of a given by (9): bfrac sqrt -1)0.997314251642175tag I computed the exact values of omegac numerically for N in the range 2,100, so I could compute the relative error which allows the comparison of different approximations omega . Ill only discuss the approximations with zero bias: omega given by (7) with a given by (9), and omega given by (11) (and (10)), with b given by (12). The figure below shows the relative errors as defined by (13) as a function of N. The red curve is the relative error of approximation (7), and the green curve is the error of approximation (11). Both approximation have zero bias (they converge to the exact values for large N), but the green curve converges significantly faster. The zero-bias formulas shown above are decent approximations to the actual cut-off frequencies, but the better one (formulas (10,11,12)) is very awkward. Olli had the great idea to tweak the denominator constant in the simple formula (7). As long as we use the optimal value of a given by (9), we can change the denominator constant without losing the zero-bias property. So we get a new formula with a constant c to be optimized. If I understood correctly, Olli based his optimization of c on the error value for N2. However, I think that the value N2 is not very relevant because for N2, omegac can be computed analytically: omegac(2)pi2. So we dont necessarily need to optimize formula (14) for the case N2 if it comes at the expense of the approximation at larger values of N. I optimized the constant c in (14) in the following way. If omegac(N) are the exact cut-off frequencies for a given set of filter lengths N, we have an overdetermined system of equations: where we can choose any reasonable set of values for N. Rearranging (15) gives another set of equations, this time linear in the unknown c: The optimal least squares solution of (16) is where L is the number of different values for N used in the sum. If you use all integer values of N in the range 2,100 you get which is close to Ollis value, but which gives an even better approximation for all Nge 3. I added the error values to this table. column f). In his answer, Robert was wondering why he must discard the second (larger) positive solution for omegac when using a fourth order Taylor series for sin2(x). The figure below shows the reason. The original squared amplitude function is shown in blue (for N10). The 3dB line is in red. The green function is the Taylor approximation, which crosses the red line twice. These are the two positive solutions for omegac. Since the function is even, we also get the same two solutions with negative signs, which makes it four, as should be the case for a fourth order polynomial. However, it is obvious that the larger of the two positive solutions is an artefact due to the divergence of the Taylor approximation for larger arguments. So it is only the smaller solution which makes sense, the other one doesnt. I provide another answer because this approach is completely different in the sense that I do not try to approximate the filters amplitude function to compute an approximation of the cut-off frequency, but I use a pure data fitting approach given the exact cut-off frequencies, which were computed numerically (and which are also given for a set of filter lengths in the leftmost column of this table ). With data fitting, often the most difficult problem is to find an appropriate parameterization of the approximating function. Since from the other answers in this thread we know that with appropriately chosen constants a and c is a surprisingly good approximation for a wide range of values of N, and since Wolfram Alpha tells us that the Laurent series expansion of (1) at Ninfty has only terms with odd powers of 1N, it appears reasonable to parameterize the cut-off frequency by a Laurent series with odd powers of 1N: We can compute the exact value of a1 in (2) from the requirement that the estimate hat c(N) has zero bias, i. e. that it converges to the true cut-off frequency for large N. This is explained in my other answer. Its value is The other constants in (2) can be computed by a least squares fit of (2) to the data, which are the exact cut-off frequencies. The least squares fit can be computed by the following simple MatlabOctave script (assuming the variable wc is a vector with pre-computed exact cut-off frequencies for the desired set of filter lengths): The resulting coefficients are begin a3amp1.201014809636180 a5amp0.768735238011194 a7amp0.514237034990353 a9amp0.548681885931852end with a1 given by (3). This approximation comes extremely close to the exact values of omegac. The approximation error can be found in this table (column g).